Geometric Theory of Parshin Residues

This is a brief summary of results. More detailed papers are in preparation. Preliminary versions of the detailed papers are available on the arxiv.org ([MM1],[MM2]). We study the theory of Parshin residues from the geometric point of view. In particular, the residue is expressed in terms of an integral over a smooth cycle. Parshin-Lomadze Reciprocity Law for residues in complex case is proved via a homological relation on these cycles. The paper consist of two parts. In the rst part the theory of Leray coboundary operators for strati ed spaces is developed. These operators are used to construct the cycle and prove the homological relation. In the second part resolution of singularities techniques are applied to study local geometry near a complete ag of subvarieties. We give a short introduction to the theory of Parshin residues in the Introduction. All the constructions are valid both in complex algebraic and complex analytic cases. However, for simplicity of presentation we restrict ourselves to the algebraic case. R esum e Ceci est un bref r esum e de r esultats. Des articles plus d etaill es sont en pr eparation. Des versions pr eliminaires de ces articles sont disponibles sur arxiv.org ([MM1],[MM2]). Nous etudions la th eorie des r esidus de Parshin d'un point de vue g eom etrique. En particulier, le r esidu est exprim e sous la forme d'une int egrale sur un cycle lisse, et la Loi de R eciprocit e de Parshin-Lomadze pour les r esidus dans le cas complexe est d emontr ee par l'interm ediaire d'une relation homologique sur ces cycles. Cet article comporte deux parties. Dans la premi ere la th eorie des op erateurs de cobords pour espaces strati es est d evelopp ee et est utilis ee pour construire le cycle et d emontrer la relation d'homologie. Dans la seconde partie, les techniques de r esolution de singularit es sont utilis ees pour etudier la g eom etrie locale pr es d'un drapeau complet de sous-vari et es. Nous donnons une courte introduction a la th eorie des r esidus de Parshin dans l'Introduction. Toutes les constructions sont valables dans le cas alg ebrique complexe et dans le cas analytique complexe . Cependant pour la simplicit e de l'expos e on s'est restreint au cas alg ebrique.